1 Analisis Exploratorio

1.1 Antecedentes

El objetivo de este analisis es investigar las principiales diferencias entre 3 especies de pinguinos y estudiar como se distribuyen las poblaciones en 3 islas del artico. Se dará un principal enfoque a el análisis por grupo de especie y se espera descubrir detalles interesantes.

1.1.1 Fuente

citation("palmerpenguins")

## 
## To cite palmerpenguins in publications use:
## 
##   Horst AM, Hill AP, Gorman KB (2020). palmerpenguins: Palmer
##   Archipelago (Antarctica) penguin data. R package version 0.1.0.
##   https://allisonhorst.github.io/palmerpenguins/
## 
## A BibTeX entry for LaTeX users is
## 
##   @Manual{,
##     title = {palmerpenguins: Palmer Archipelago (Antarctica) penguin data},
##     author = {Allison Marie Horst and Alison Presmanes Hill and Kristen B Gorman},
##     year = {2020},
##     note = {R package version 0.1.0},
##     url = {https://allisonhorst.github.io/palmerpenguins/},
##   }

1.2 Descripción de Datos

penguins_df <- as.data.frame(penguins)
penguins_df <- na.omit(penguins_df)
names(penguins_df) = c("Especie", "Isla", "Longitud Pico", "Profundidad Pico", "Longitud aleta", "Masa Corporal", "Sexo","Año")

1.2.1 Variable y Escala de medición

variables <- c("Especie", "Isla", "Longitud Pico", "Profundidad Pico", "Longitud aleta", "Masa Corporal", "Sexo","Año")
tipo <- c("Cualitativa - Nominal","Cualitativa - Nominal","Cuantitativa - De razón","Cuantitativa - De razón","Cuantitativa - De razón","Cuantitativa - De razón","Cualitativa - Nominal","Cualitativa - Nominal")
mat <- cbind(variables,tipo)
rownames(mat)<- 1:8
colnames(mat)<- c("Variable","Tipo de Variable")
mat

##   Variable           Tipo de Variable         
## 1 "Especie"          "Cualitativa - Nominal"  
## 2 "Isla"             "Cualitativa - Nominal"  
## 3 "Longitud Pico"    "Cuantitativa - De razón"
## 4 "Profundidad Pico" "Cuantitativa - De razón"
## 5 "Longitud aleta"   "Cuantitativa - De razón"
## 6 "Masa Corporal"    "Cuantitativa - De razón"
## 7 "Sexo"             "Cualitativa - Nominal"  
## 8 "Año"              "Cualitativa - Nominal"

1.2.2 Análisis

1.2.2.1 Análisis Cualitativo

#Frecuencias absolutas
fatable <- sort(table(penguins_df$Especie))
a <- sum(fatable)
fi<-c(fatable,a)

#Frecuencias relativas
frtable <- round(prop.table(fatable),digits = 3)
b <- sum(frtable)
pi <- c(frtable,b)

#Frecuencias absolutas acumuladas
faa <- sort(cumsum(fatable))
c <- sum(faa)
faai <- c(faa,c)

#Frecuencias relativas acumuladas
fra <- round(cumsum(frtable),digits=3)
d<- sum(fra)
frai <- c(fra,d)

#Tabla final

tfinal <- cbind(fi,faai, pi,frai)
rownames(tfinal) <- c(names(fatable),"Totales")
colnames(tfinal) <- c("FA" ,
                      "FAA" ,
                      "FR", 
                      "FRA")
tfinal

##            FA FAA    FR   FRA
## Chinstrap  68  68 0.204 0.204
## Gentoo    119 187 0.357 0.561
## Adelie    146 333 0.438 0.999
## Totales   333 588 0.999 1.764

penguins_df %>% 
  count(Especie,Sexo)%>% 
  plot_ly(x= ~Especie,
          y= ~n,
          text= ~n,
          hoverinfo = "text",
          color=~Sexo,
          colors=c("yellowgreen","seagreen1"))%>% 
  add_bars()%>% 
  layout(title="Especies por Sexo",
         xaxis= list(title="Especie"),
         yaxis= list(title="Número"),
         barmode="group")

penguins_df %>% 
  count(Especie,Isla)%>% 
  plot_ly(x= ~Especie,
          y= ~n,
          text= ~n,
          hoverinfo = "text",
          color=~Isla)%>% 
  add_bars()%>% 
  layout(title="Especies por Isla",
         xaxis= list(title="Especie"),
         yaxis= list(title="Número"),
         barmode="group")

penguins_df %>% 
  count(Sexo,Isla)%>% 
  plot_ly(x= ~Sexo,
          y= ~n,
          text= ~n,
          hoverinfo = "text",
          color=~Isla)%>% 
  add_bars()%>% 
  layout(title="Sexo por Isla",
         xaxis= list(title="Sexo"),
         yaxis= list(title="Número"),
         barmode="group")

Comentarios:

La muestra se compone de 333 pingüinos donde 43.8% es del tipo Adelie, 35.7% Gentoo y 20.4% Chinstrap.
El número de machos y hembras en cada especie es curiosamente el mismo.
La distribución de cada especie en las islas es curiosa, ya que la especie Adelie se encuentra presente en las 3 islas con un número similar de individuos, mientras que la especie Chinstrap y Gentoo se encuentran unicamente en la isla Dream y Biscoe respectivamente.
Existe equilibrio entre el número de hembras y machos en las 3 islas.

1.2.2.2 Análisis Cuantitativo

- Longitud de Pico

groupA <- penguins_df %>% filter(Especie == "Adelie")
groupB <- penguins_df %>% filter(Especie == "Gentoo")
groupC <- penguins_df %>% filter(Especie == "Chinstrap")
p5 <- plot_ly(alpha = 0.7) %>% 
  add_histogram(x = ~groupA$`Longitud Pico`,
                name = "Adelie") %>% 
  add_histogram(x = ~groupB$`Longitud Pico`,
                name = "Gentoo") %>% 
   add_histogram(x = ~groupC$`Longitud Pico`,
                name = "Chinstrap") %>% 
  layout(barmode = "overlay",
         title = "Histograma por Grupos de la Longitud Pico",
         xaxis = list(title = "Longitud Pico",
                      zeroline = FALSE),
         yaxis = list(title = "Cuenta",
                      zeroline = FALSE))
p5

fig <- plot_ly(penguins_df, y = ~penguins_df$`Longitud Pico`, color = ~penguins_df$Especie, 
               type = "box",colors=c("pink4","plum","pink"))%>% 
  layout(title="Longitud Pico",
         yaxis= list(title="Longitud"))

fig

Comentarios:

Analizando las longitudes de Pico en las 3 especies notamos que las especies Gentoo y Chinstrap tienen el pico mucho más grande que la especie Adelie y existe un individuo de la especie Gentoo con una longitud atipíca.
Observamos que la dispersión de los datos para la longitud de pico en general es baja para las 3 especies.
De acuerdo a los Box plots para los grupos Adelie y Gentoo se observa una distribución simétrica y una asimetrica negativa para el grupo Chinstrap.
El 50% de los pingüinos Adelie tienen una longitud de pico entre 36.7 y 48.8 cm.
El 50% de los Pingüinos Chinstrap tienen una longitud de pico entre 46.3 y 51.15 cm.
El 50% de los Pingüinos Gentoo tienen una longitud de pico entre 45.325 y 49.6 cm.
Los Pingüinos de la especie Chinstrap poseen el pico más largo.

- Profundidad de Pico

p6 <- plot_ly(alpha = 0.7) %>% 
  add_histogram(x = ~groupA$`Profundidad Pico`,
                name = "Adelie") %>% 
  add_histogram(x = ~groupB$`Profundidad Pico`,
                name = "Gentoo") %>% 
   add_histogram(x = ~groupC$`Profundidad Pico`,
                name = "Chinstrap") %>% 
  layout(barmode = "overlay",
         title = "Histograma por Grupos de la Profundidad del Pico",
         xaxis = list(title = "Profundidad de Pico",
                      zeroline = FALSE),
         yaxis = list(title = "Cuenta",
                      zeroline = FALSE))
p6

fig2 <- plot_ly(penguins_df, y = ~penguins_df$`Profundidad Pico`, color = ~penguins_df$Especie, 
               type = "box",colors=c("indianred3","indianred4","coral"))%>% 
  layout(title="Profundidad Pico",
         yaxis= list(title="Profundidad"))

fig2

Comentarios:

La especie Adelie y Chinstrap tienen una profundidad de Pico mucho más alta que la especie Gentoo y existe un individuo de la especie Adelie con una profundidad inusual.
La dispersión de los datos no es tan alta, porque los diagramas de cajas y brazos son pequeños.
De acuerdo a los Box Plots los grupos Gentoo y Chinstrap presentan una distribución simétrica y para el grupo Adelie se observa una ligera distribución asimetrica negativa, ya que la mediana se acerca a el tercer cuartil.
El 50% de los pingüinos Adelie tienen una profundidad de pico entre 17.5 y 19 cm.
El 50% de los Pingüinos Chinstrap tienen una profundidad de pico entre 17.5 y 19.4 cm.
El 50% de los Pingüinos Gentoo tienen una profundidad de pico entre 14.2 y 15.775 cm.
Los Pingüinos de la especie Adelie y Chinstrap poseen el pico más profundo.

- Longitud de Aleta

p7 <- plot_ly(alpha = 0.7) %>% 
  add_histogram(x = ~groupA$`Longitud aleta`,
                name = "Adelie") %>% 
  add_histogram(x = ~groupB$`Longitud aleta`,
                name = "Gentoo") %>% 
   add_histogram(x = ~groupC$`Longitud aleta`,
                name = "Chinstrap") %>% 
  layout(barmode = "overlay",
         title = "Histograma por Grupos de la Longitud de Aleta",
         xaxis = list(title = "Longitud de Aleta",
                      zeroline = FALSE),
         yaxis = list(title = "Cuenta",
                      zeroline = FALSE))
p7

fig3 <- plot_ly(penguins_df, y = ~penguins_df$`Longitud aleta`, color = ~penguins_df$Especie, 
               type = "box",colors=c("lightgoldenrod3","darkgoldenrod1","sandybrown"))%>% 
  layout(title="Longitud de Aleta",
         yaxis= list(title="Longitud"))

fig3

Comentarios:

Los pingüinos Gentoo tienen unas aletas mucho más largas que las otras especies.
Existen 2 individuos con aletas muy largas y muy pequeñas en la especie Adelie
La dispersión de los datos no es tan alta, porque los diagramas de cajas y brazos no son muy largos.
Las mediana del grupo Gentoo difiere mucho de las otras especies.
El 50% de los pingüinos Adelie tienen una longitud de aleta entre 186.5 y 195 cm.
El 50% de los Pingüinos Chinstrap tienen una longitud de aleta entre 191 y 201 cm.
El 50% de los Pingüinos Gentoo tienen una longitud de aleta entre 212 y 221.75 cm.

- Masa Corporal

p8 <- plot_ly(alpha = 0.7) %>% 
  add_histogram(x = ~groupA$`Masa Corporal`,
                name = "Adelie") %>% 
  add_histogram(x = ~groupB$`Masa Corporal`,
                name = "Gentoo") %>% 
   add_histogram(x = ~groupC$`Masa Corporal`,
                name = "Chinstrap") %>% 
  layout(barmode = "overlay",
         title = "Histograma por Grupos de la Masa Corporal",
         xaxis = list(title = "Masa Corporal ",
                      zeroline = FALSE),
         yaxis = list(title = "Cuenta",
                      zeroline = FALSE))
p8

fig4 <- plot_ly(penguins_df, y = ~penguins_df$`Masa Corporal`, color = ~penguins_df$Especie, 
               type = "box",colors= "Paired")%>% 
  layout(title="Masa Corporal",
         yaxis= list(title="Masa"))

fig4

Comentarios:

Los pingüinos Gentoo son los más gordos.
Existen 2 individuos en la especie Chinstrap con peso muy bajo y muy alto para su especie.
En los box plots se aprecia que el grupo Chinstrap muestra una distribución simétrica, el grupo Adelie una ligera distribución asimétrica negativa y el grupo Gentoo una ligera distribución asimétrica positiva.
El 50% de los pingüinos Adelie tienen una masa entre 3350 y 4000 gr.
El 50% de los Pingüinos Chinstrap tienen una masa entre 3475 y 3950 gr.
El 50% de los Pingüinos Gentoo tienen una masa entre 4700 y 5500 gr.

1.2.2.3 Asociación Entre Variables

varc <- data.frame("L.Pico"=penguins_df$`Longitud Pico`,
                  "P.Pico"=penguins_df$`Profundidad Pico`,
                  "L.Aleta"=penguins_df$`Longitud aleta`,
                  "M.Corporal"=penguins_df$`Masa Corporal`
                  )
ggcorrplot(cor(varc),hc.order = TRUE,lab = TRUE) #Usando Coeficiente de Pearson

pairs.panels(varc,method = "spearman",density=FALSE,ellipses = FALSE,
             smooth = FALSE) #Usando coeficiente de Spearman

Comentarios:

Usando ambos coeficientes de correlación observamos los siguiente:

La masa corporal tiene una correlación positiva muy fuerte con la Longitud de aleta.
La longitud de Pico tiene una correlación positiva con la Longitud de aleta y la masa corporal.
La profundidad del Pico tiene una correlación negativa con la longitud de aleta y la masa corporal.

2 Inferencia Estadística Clásica

Para esta sección usaremos la variable de masa corporal.

2.1 Estimación Puntual

Primero visualizaremos la gráfica de la variable elegida

p15 <- plot_ly(alpha = 0.7) %>% 
  add_histogram(x = ~penguins_df$`Masa Corporal`,
                name = "Masa Corporal") %>% 
  layout(barmode = "overlay",
         title = "Histograma de Masa Corporal",
         xaxis = list(title = "Masa Corporal",
                      zeroline = FALSE),
         yaxis = list(title = "Cuenta",
                      zeroline = FALSE))
p15

2.1.1 Elección de Modelos

De manera visual una distribición Gamma o Weibull podrían ajustar a la variable, para estar más seguros usaremos la gráfica de Cullen y Frey.

y <- penguins_df$`Masa Corporal`

descdist(data = y, graph = TRUE)

## summary statistics
## ------
## min:  2700   max:  6300 
## median:  4050 
## mean:  4207.057 
## estimated sd:  805.2158 
## estimated skewness:  0.4722461 
## estimated kurtosis:  2.266511

Observamos que una distribución Gamma en efecto podría ajustar bien, las distribuciones normal y log normal no difieren mucho en simetria y Curtosis, por eso también las consideraremos. Por, ultimo incluiremos también la distribución weibull para tener una opción más para comparar.

La distribución exponencial no fue elegida porque esta muy lejos en simetría y la uniforme fue descartada por la ilustración del histograma.

Posibles candidatos

1. Distribución Gamma de paramétros \(\alpha\) y \(\lambda\)
1. Distribución Normal y Log Normal de parametros \(\mu\) y \(\sigma\)
1. Distribución Weibull de Parametros \(\alpha\) y \(\lambda\)

2.1.2 Estimación

#Estimación Weibull
fitw <- fitdistr(y,densfun="weibull",lower = c(0, 0))
alfaw <- fitw$estimate[1]
betaw <- fitw$estimate[2]

#Estimación Gamma
fiteg <- fitdistr(y,densfun="gamma") 
alfag <- fiteg$estimate[1]
betag <- fiteg$estimate[2]

#Estimación Log Normal
fitel<-  fitdistr(y,densfun="Lognormal")
meanl <- fitel$estimate[1]
sdl <- fitel$estimate[2]

#Estimación Normal
fitn<- fitdistr(y,densfun = "normal")
meann <- fitn$estimate[1]
sdn <- fitn$estimate[2]

Dist <- c("Weibull","Gamma","Log Normal","Normal")
p1 <- c(round(alfaw,2),round(alfag,2),round(meanl,2),round(meann,2))
p2 <- c(round(betaw,2),round(betag,2),round(sdl,2),round(sdn,2))
cdist <- cbind(Dist,p1,p2)
rownames(cdist) <- 1:4
colnames(cdist) <- c("Distribución","Paramétro 1","Paramétro 2")
cdist

##   Distribución Paramétro 1 Paramétro 2
## 1 "Weibull"    "5.53"      "4546.29"  
## 2 "Gamma"      "28.18"     "0.01"     
## 3 "Log Normal" "8.33"      "0.19"     
## 4 "Normal"     "4207.06"   "804.01"

2.1.3 Gráfica y Comparación

dist_lnorm <- fitdist(penguins_df$`Masa Corporal`,distr = "lnorm")
dist_weibull <- fitdist(penguins_df$`Masa Corporal`,distr = "weibull")
dist_gamma <- fitdist(penguins_df$`Masa Corporal`,distr = "gamma")
dist_norm <- fitdist(penguins_df$`Masa Corporal`,distr = "norm")

p <- denscomp(
      list(dist_lnorm, dist_weibull,dist_gamma,dist_norm),
      legendtext = c("lognormal", "Weibull","Gamma","Normal"),
      xlab = "Masa",
      fitcol = c("red", "blue","orange","green"),
      fitlty = 1, 
      xlegend = "topright",
      plotstyle = "ggplot",
      addlegend = FALSE)
p <- p +
     ggplot2::ggtitle("Distribución Masa Corporal") +
     theme_bw() +
     theme(legend.position = "bottom")

#p

ggplotly(p)

#Bayesianos
n = length(y)
k=2
bic.g = log(n)*k-(2*fiteg$loglik)
bic.l = log(n)*k-(2*fitel$loglik)
bic.n = log(n)*k-(2*fitn$loglik)
bic.w = log(n)*k-(2*fitw$loglik)
# Arcaike
k =2
aic.g = 2*k-(2*fiteg$loglik)
aic.l = 2*k-(2*fitel$loglik)
aic.n = 2*k-(2*fitn$loglik)
aic.w = 2*k-(2*fitw$loglik)


BIC <- c(bic.g,bic.l,bic.n,bic.w)
AIC <- c(aic.g,aic.l,aic.n,aic.w)
t <- cbind(BIC,AIC)
rownames(t) <- c("Gamma","Log Normal","Normal","Weibull")
t

##                 BIC      AIC
## Gamma      5394.430 5386.814
## Log Normal 5389.739 5382.123
## Normal     5411.907 5404.291
## Weibull    5435.646 5428.030

Comentarios Finales

En la gráfica se observa que el modelo Log Normal y Gamma ajustan mejor, pero es difícil seleccionar uno.
Obervando los criterios de Arcaike y Bayesiano notamos que en ambos criterios el mejor modelo es la distribución Log Normal

2.1.4 Estimación de la Proporción

Usaremos como variable cualitativa la especie.

set.seed(191)

adelie <- sample(penguins_df$Especie=="Adelie",1000,replace=TRUE)
est.adelie <- sum(adelie)/length(adelie)

gentoo <- sample(penguins_df$Especie=="Gentoo",1000,replace=TRUE)
est.gentoo <- sum(gentoo)/length(gentoo)

chinstrap <-sample(penguins_df$Especie=="Chinstrap",1000,replace=TRUE)
est.chinstrap <- sum(chinstrap)/length(chinstrap)

especie <- c("Adelie","Gentoo","Chinstrap")
p_m <- c(est.adelie,est.gentoo,est.chinstrap)
prop <- cbind(especie,p_m)
rownames(prop)<-1:3
colnames(prop)<- c("Especie","Estimación ")
prop

##   Especie     Estimación 
## 1 "Adelie"    "0.438"    
## 2 "Gentoo"    "0.355"    
## 3 "Chinstrap" "0.201"

2.1.5 Estimación de la media, varianza y coeficiente de variación muestrales

Para esta parte usaremos la longitud de pico y la profundidad de pico.

set.seed(191)
muestra.lpico <-sample(penguins_df$`Longitud Pico`,9000,replace=TRUE)
muestra.ppico <- sample(penguins_df$`Profundidad Pico`,9000,replace=TRUE)

media_lpico <- mean(muestra.lpico)
media_ppico <- mean(muestra.ppico)

var_lpico <- var(muestra.lpico)
var_ppico <- var(muestra.ppico)

cov_v <- cov(muestra.lpico,muestra.ppico)
               
r_est <- cov_v/(sqrt(var_lpico)*sqrt(var_ppico))


varia <- c("Longitud Pico","Profundidad Pico")
media.m <- c(round(media_lpico,4),round(media_ppico,4))
var.m <- c(round(var_lpico,4),round(var_ppico,4))
r.m <- c(round(r_est,4),round(r_est,4))

estim <- cbind(varia,media.m,var.m,r.m)
rownames(estim) <- 1:2
colnames(estim) <- c("Variable","Media Muestral","Varianza Muestral","Coef Variación")
estim

##   Variable           Media Muestral Varianza Muestral Coef Variación
## 1 "Longitud Pico"    "44.0034"      "29.7446"         "-0.0206"     
## 2 "Profundidad Pico" "17.1721"      "3.8771"          "-0.0206"

2.2 Estimación de Intervalos de Confianza

Para esta sección usaremos la longitud de aleta

2.2.1 Análisis de Normalidad

n <- ggplot(penguins_df, aes(sample=penguins_df$`Longitud aleta`)) +
  geom_qq(color="slategray4")+geom_qq_line(color="springgreen",distribution = "qnorm",size=1)
n <- n + ggtitle("QQplot Longitud de Aleta") +
   xlab("Cuantiles teóricos") + ylab("Cuantiles muestrales")

#ggplotly(n)
n

lillie.test(penguins_df$`Longitud aleta`)

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  penguins_df$`Longitud aleta`
## D = 0.12494, p-value = 1.213e-13

shapiro.test(penguins_df$`Longitud aleta`)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  penguins_df$`Longitud aleta`
## W = 0.95171, p-value = 5.393e-09

Comentarios:

Con el gráfico de cuantiles y las pruebas de normalidad se concluye que la variable debe ser transformada para cumplir el supuesto de normalidad.

lambda = BoxCox.lambda(penguins_df$`Longitud aleta`,method="loglik",lower=-10,upper=10)
trans.laleta = BoxCox(penguins_df$`Longitud aleta`, lambda)

dta_trans<- data.frame(
  "Longitud_Aleta" = trans.laleta
)

n2 <- ggplot(dta_trans, aes(sample=Longitud_Aleta)) +
  geom_qq(color="slategray4")+geom_qq_line(color="violetred1",distribution = "qnorm",size=1)
n2 <- n2 + ggtitle("QQplot Longitud de Aleta Transformada") +
  xlab("Cuantiles teóricos") + ylab("Cuantiles muestrales")

ggplotly(n2)

lillie.test(trans.laleta)

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  trans.laleta
## D = 0.094181, p-value = 1.624e-07

shapiro.test(trans.laleta)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  trans.laleta
## W = 0.96537, p-value = 4.049e-07

Comentarios:

La variable sigue sin cumplir el supuesto aún con la transformación, por lo que se supondrá normalidad.

2.2.2 Una Población

Intervalos Para la Media

intm_1 <- t.test(x=penguins_df$`Longitud aleta`, conf.level=0.83)$conf.int
intm_2 <- t.test(x=penguins_df$`Longitud aleta`, conf.level=0.97)$conf.int


cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",intm_1,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   199.9107 202.0232

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",intm_2)

## Intervalo del 97% de confianza:   199.293 202.6409

Comentarios:

En el primer intervalo se afirma con un 83% de confianza que la media de la longitud de aleta esta entre 199.91 y 202.02 cm.
En el segundo intervalo se afirma con un 97% de confianza que la media de la longitud de aleta esta entre 199.29 y 202.64 cm.
Cómo se aumento el nivel de confianza para el segundo intervalo, la longitud del intervalo es mayor.
Dado que no hay mucha diferencia entre los dos intervalos es preferible tomar el intervalo con 83% de confianza ya que es más preciso.

Intervalos Para la Varianza

intv_1 <- varTest(penguins_df$`Longitud aleta`,conf.level=0.83)$conf.int
intv_2 <- varTest(penguins_df$`Longitud aleta`,conf.level=0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",intv_1,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   177.2643 219.3996

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",intv_2)

## Intervalo del 97% de confianza:   167.069 234.1163

Comentarios:

En el primer intervalo se afirma con un 83% de confianza que la varianza de la longitud de aleta esta entre 177.2643 y 219.3996 cm.
En el segundo intervalo se afirma con un 97% de confianza que la varianza de la longitud de aleta esta entre 167.069 y 234.1163 cm.
Como el nivel de significancia para el segundo intervalo es menor a el primero, el segundo intervalo es más grande.
Los intervalos difieren mucho en la estimación para el parámetro, aunque el primer intervalo es más preciso su incertidumbre es mayor, por lo que consideramos mejor tomar el segundo intervalo.

Intervalos Para la Desviación Estándar

intd_1 <- sqrt(varTest(penguins_df$`Longitud aleta`,conf.level=0.83)$conf.int)
intd_2 <- sqrt(varTest(penguins_df$`Longitud aleta`,conf.level=0.97)$conf.int)

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",intd_1,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   13.31406 14.81214

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",intd_2)

## Intervalo del 97% de confianza:   12.92552 15.30086

Comentarios:

En el primer intervalo se afirma con un 83% de confianza que la desviación estándar de la longitud de aleta esta entre 13.31406 y 14.81214 cm.
En el primer intervalo se afirma con un 97% de confianza que la desviación estándar de la longitud de aleta esta entre 12.92552 y 15.30086 cm.
Como el nivel de significancia para el segundo intervalo es menor a el primero, el segundo intervalo es más grande.
Los intervalos difieren mucho en la estimación para el parámetro, aunque el primer intervalo es más preciso su incertidumbre es mayor, por lo que consideramos mejor tomar el segundo intervalo.

2.2.3 Dos Poblaciones

Usaremos la especie como variable cualitativa, en ninguna especie tenemos menos de 10 ejemplares.

Poblaciones

Adelies <- groupA$`Longitud aleta`
Gentoos <- groupB$`Longitud aleta`
Chinstraps <- groupC$`Longitud aleta`

Se supondrá normalidad e independencia, la varianza y media poblacional son desconocidas.

2.2.3.0.1 Adelie vs Gentoo

Diferencia de Varianzas

vartest_1<- var.test(Adelies,Gentoos,ratio=1,alternative="two.sided",conf.level = 0.83)$conf.int
vartest_2<- var.test(Adelies,Gentoos,ratio=1,alternative="two.sided",conf.level = 0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",vartest_1,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   0.7688795 1.245941

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",vartest_2)

## Intervalo del 97% de confianza:   0.6667367 1.4325

Comentarios

Como ambos intervalos contienen el 1, con un 97% y 83% de confianza se pueden considerar varianzas iguales entre la población Adelie y Gentoo. Para la comparación de medias podremos considerar varianzas iguales.

Diferencia de Medias

compm1<- t.test(Adelies,Gentoos,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.83)$conf.int

compm2 <- t.test(Adelies,Gentoos,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",compm1,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   -28.2457 -26.0194

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",compm2)

## Intervalo del 97% de confianza:   -28.89771 -25.36739

Comentarios

En ambos intervalos se concluye con una confianza de 83% y 97% que las medias son distintas y además dado que ambos extremos son negativos, esto implica que la media de la población Gentoo es mayor.

2.2.3.0.2 Adelie vs Chinstrap

Diferencia de Varianzas

vartest_3<- var.test(Adelies,Chinstraps,ratio=1,alternative="two.sided",
                     conf.level = 0.83)$conf.int
vartest_4<- var.test(Adelies,Chinstraps,ratio=1,alternative="two.sided",
                     conf.level = 0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",vartest_3,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   0.6203826 1.103822

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",vartest_4)

## Intervalo del 97% de confianza:   0.5200362 1.296713

Comentarios

Como ambos intervalos contienen el 1, con un 97% y 83% de confianza se pueden considerar varianzas iguales entre la población Adelie y Chinstrap. Para la comparación de medias podremos considerar varianzas iguales.

Diferencia de Medias

compm3<- t.test(Adelies,Chinstraps,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.83)$conf.int

compm4 <- t.test(Adelies,Chinstraps,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",compm3,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   -7.079362 -4.362217

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",compm4)

## Intervalo del 97% de confianza:   -7.876529 -3.565051

Comentarios

En ambos intervalos se concluye con una confianza de 83% y 97% que las medias son distintas y además dado que ambos extremos son negativos, esto implica que la media de la población Chinstrap es mayor.

2.2.3.0.3 Chinstrap vs Gentoo

Diferencia de Varianzas

vartest_5<- var.test(Chinstraps,Gentoos,ratio=1,alternative="two.sided",
                     conf.level = 0.83)$conf.int
vartest_6<- var.test(Chinstraps,Gentoos,ratio=1,alternative="two.sided",
                     conf.level = 0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",vartest_5,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   0.8776468 1.59396

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",vartest_6)

## Intervalo del 97% de confianza:   0.7414484 1.910254

Comentarios

Como ambos intervalos contienen el 1, con un 97% y 83% de confianza se pueden considerar varianzas iguales entre la población Gentoo y Chinstrap. Para la comparación de medias podremos considerar varianzas iguales.

Diferencia de Medias

compm5<- t.test(Chinstraps,Gentoos,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.83)$conf.int

compm6 <- t.test(Chinstraps,Gentoos,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.97)$conf.int

cat("Intervalo del 83% de confianza:\t",compm5,"\n")

## Intervalo del 83% de confianza:   -22.83336 -19.99017

cat("Intervalo del 97% de confianza:\t",compm6)

## Intervalo del 97% de confianza:   -23.66861 -19.15492

Comentarios

En ambos intervalos se concluye con una confianza de 83% y 97% que las medias son distintas y además dado que ambos extremos son negativos, esto implica que la media de la población Gentoo es mayor.

2.3 Contrastes de Hipótesis Paramétricas

2.3.1 Una población

Ya que desconocemos los paramétros poblacionales, para trabajar esta sección se tomará que la muestra de 330 pingüinos es la población total y a partir de ella se tomarán muestras aleatorias para los ejercicios.

Además dado que la variable longitud de aleta no fue posible de normalizar con la transformación de Box Cox, se usará la variable original y se supondrá normalidad.

set.seed(11)
poblacion <- penguins_df$`Longitud aleta`
muestra <- sample(poblacion,50)

m_pob<-mean(poblacion)
m_mue<-mean(muestra)

Contraste para la Media

Supongase que la longitud de aleta de los pingüinos es una v.a normal con media mu y desviacion estándar sigma = 14.01577, de acuerdo con la muestra ¿Existe razón para creer, con una significancia del 3% que la media de la longitud no es de 200.967 cm?.

\(H_{0}: \mu = 200.967\)

\(H_{1}: \mu \neq 200.967\)

Supuestos

La variable longitud de aleta se comporta como una normal.
La varianza es conocida.

# Region critica
zcrit1 <- qnorm(0.03/2,mean=0,sd=1,lower.tail = T)
zcrit2 <- qnorm(0.03/2,mean=0,sd=1,lower.tail = F)
zcrit2

## [1] 2.17009

zcrit1

## [1] -2.17009

Como la varianza es conocida el estadístico sigue una distribucion Z

prueba1 <- z.test(muestra,alternative="two.sided",mu=200.967,sigma.x=14.01577,
                  conf.level=0.97)
prueba1

## 
##  One-sample z-Test
## 
## data:  muestra
## z = 0.6826, p-value = 0.4949
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 200.967
## 97 percent confidence interval:
##  198.0186 206.6214
## sample estimates:
## mean of x 
##    202.32

Conclusión

El valor P es muy superior a 0.03, además el estadístico Z es mucho menor que 2.17, por lo que a una significancia del 3% no hay evidencia suficiente para rechazar \(h_{0}\), esto quiere decir que no existe evidencia suficiente para rechazar que la media sea de 200.967.

Contraste para la Desviación Estándar

De acuerdo a la muestra aleatoria obtenida, con una significancia del 3%, ¿Existe razón para creer que la desviación tipíca es es distinta a 14.01577?

\(H_{0}: \sigma = 14.01577\)

\(H_{1}: \sigma \neq 14.01577\)

Supuestos

La variable longitud de aleta se comporta como una normal y conocemos la desviación

El estadístico sigue una distribución chi cuadrada con 49 grados de libertad, como la queremos para la desviación le sacamos raíz cuadrada.

# Region critica adaptada a la desviación estandár
chi_tab <- sqrt(qchisq(0.03/2,49,lower.tail = FALSE))
chi_tab

## [1] 8.537695

a <- varTest(muestra,alternative = "two.sided",sigma.squared = var(muestra),conf.level = 0.97)
a

## 
##  Chi-Squared Test on Variance
## 
## data:  muestra
## Chi-Squared = 49, df = 49, p-value = 0.9463
## alternative hypothesis: true variance is not equal to 198.7527
## 97 percent confidence interval:
##  133.6065 324.2357
## sample estimates:
## variance 
## 198.7527

estat_calc <- sqrt(a$statistic)
estat_calc

## Chi-Squared 
##           7

Conclusión

Como el estadístico calculado es de 7 y el crítico 8.53 y que el valor p es muy superior a la significancia dada, a una significancia de 3% no hay evidencia suficiente para rechazar H0, es decir, no hay razón para creer que la desviación estándar es diferente a 14.01577

2.3.2 Dos Poblaciones

Para terminar haremos la comparación entre la longitud de aleta entre hembras y machos.

fem <- penguins_df %>% filter(Sexo == "female")
masc <- penguins_df %>% filter(Sexo == "male")

fem_la <- fem$`Longitud aleta`
masc_la <- masc$`Longitud aleta`

Cociente de Varianzas

¿Son las varianzas de la longitud de aleta diferentes entre hembras y machos?

\(H_{0}: \frac{\sigma_{1}^2}{\sigma_{2}^2} = 0\)

\(H_{1}: \frac{\sigma_{1}^2}{\sigma_{2}^2} \neq 0\)

Supuestos

Normalidad
Muestras independientes
Varianza Poblacional Desconocida

var.test(fem_la,masc_la,ratio=1,alternative="two.sided",
                     conf.level = 0.97)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  fem_la and masc_la
## F = 0.73837, num df = 164, denom df = 167, p-value = 0.05203
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 97 percent confidence interval:
##  0.5263648 1.0362796
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.7383713

var.test(fem_la,masc_la,ratio=1,alternative="two.sided",
                     conf.level = 0.83)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  fem_la and masc_la
## F = 0.73837, num df = 164, denom df = 167, p-value = 0.05203
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 83 percent confidence interval:
##  0.5962894 0.9145685
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.7383713

Conclusión

La conclusión es distinta entre los intervalos:

Con un 3% de significancia, como el intervalo de confianza contiene el 1 y el valor p es es mayor a la significancia dada, esto concluiría que no hay evidencia suficiente para pensar que las varianzas difieren.
Con un 17% de significancia, ocurre lo contrario, ya que el intervalo no contiene el 1 y además el valor p es menor es menor a el nivel de significancia.
Como se desea tener menor error, en este caso prefiero tomar la significancia del 3% y para la diferencia de promedios se tomarán varianzas poblacionales iguales.

Diferencia de Medias

¿Son los promedios longitud de aleta diferentes entre hembras y machos?

\(H_{0}: \mu_{1}-\mu_{2} = 0\)

\(H_{1}: \mu_{1}-\mu_{2} \neq 0\)

Supuestos

Normalidad
Muestras independientes
Varianza Poblacional Desconocida

t.test(fem_la,masc_la,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.97)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  fem_la and masc_la
## t = -4.8013, df = 331, p-value = 2.391e-06
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 97 percent confidence interval:
##  -10.384456  -3.900177
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  197.3636  204.5060

t.test(fem_la,masc_la,alternative="two.sided",paired = F,var.equal = T,
                 conf.level = 0.83)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  fem_la and masc_la
## t = -4.8013, df = 331, p-value = 2.391e-06
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 83 percent confidence interval:
##  -9.188020 -5.096612
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  197.3636  204.5060

Conclusión

En este caso la conclusión es la misma, el valor p es mucho menor a la significancia del 3% y 17%, además ningún intervalo contiene al cero y como ambos extremos del intervalo son negativos esto implica que la media de población de machos es mayor a las hembras.
Con una significancia del 3% y 17% se rechaza Ho y se concluye que la diferencia de medias entre hembras y machos es distinta.

Proyecto

Andrés Moreno Moreno

1 Analisis Exploratorio

1.1 Antecedentes

1.1.1 Fuente

1.2 Descripción de Datos

1.2.1 Variable y Escala de medición

1.2.2 Análisis

1.2.2.1 Análisis Cualitativo

1.2.2.2 Análisis Cuantitativo

1.2.2.3 Asociación Entre Variables

2 Inferencia Estadística Clásica

2.1 Estimación Puntual

2.1.1 Elección de Modelos

2.1.2 Estimación

2.1.3 Gráfica y Comparación

2.1.4 Estimación de la Proporción

2.1.5 Estimación de la media, varianza y coeficiente de variación muestrales

2.2 Estimación de Intervalos de Confianza

2.2.1 Análisis de Normalidad

2.2.2 Una Población

2.2.3 Dos Poblaciones

2.2.3.0.1 Adelie vs Gentoo

2.2.3.0.2 Adelie vs Chinstrap

2.2.3.0.3 Chinstrap vs Gentoo

2.3 Contrastes de Hipótesis Paramétricas

2.3.1 Una población

2.3.2 Dos Poblaciones